测量平差综述

嘎子 测绘专业 2017-03-13 1,208 次浏览 2条评论

今天来点测量专业的干货吧,好久没有写测量专业的文章了。

因为最近公司组织了一个“技能提升”的活动,让我讲个课,自己想想也没什么可讲的,就想测量平差这一块应该属于自己的专长吧,虽然自己有很多不懂,自己讲出来可能其他人也不懂,但自己有所得,自己就记录一下。也可以作为自己讲课的一个提纲,当然自己讲课中如果有什么新的心得,也会记录下来。

可惜条件并不是很充分,要不可以把自己的讲课内容录下来,做一个视频,也分享给大家。

先从头说起吧,第一点要从经典测量平差开始。有一句话叫做“基础不牢,地动山摇”,这句话放在平差里面特别正确。后面大家会发现,特别多的学者在不同的条件下提出了特别多的平差方法,但这些方法怎么学,掌握到什么程度,是很多人都有疑问的一个问题,我个人觉得应该是这样的:对于基础,牢固掌握。后面的各种平差,只要理解概念,知道什么作用就可以了。以后如果用的到,再详细研究其中的算法和各类细节。当然,在本文中,对于基础部分也没有办法讲的很详细,否则篇幅就过于长了。

一、平差基础:经典测量平差

在测量平差里面什么是基础,毫无疑问是经典测量平差,更具体一点,我觉得有三点:

1、误差的正态分布特性。

2、最小二乘估计

3、极大似然估计

在我看来,这三点构成了经典测量平差的基础。这三者的关系非常密切:“在测量误差服从正态分布的前提下,最小二乘估计与极大似然估计是等价的”。从根源上理解了这一句话,你的经典测量平差的基础就算是有了。

当然,经典测量平差中也有几种常用的方法:

1、条件平差

2、间接平差

我个人认为随着现在电脑技术的发展,间接平差的应用越来越多,而条件平差基本已经成为过去(不喜勿喷)。由于间接平差方程的可程序化非常高,而且完全可以替代条件平差,两者的结果也完全等价。。。所以越来越多的程序都在使用间接平差。

在上述两种平差的基础上,如果未知数之间存在固定关系,衍生出了两种平差方法:

1、附有参数的条件平差

2、附有限制条件的间接平差。

这两者也基本一致,由于上述原因,所以附有限制条件的间接平差的应用也越来越多。

经典平差这么几句话就说完了,但上面几句话多数测绘专业的学生(当然也包括我)在大学四年期间并没有搞清楚这个问题。现在自己有点清楚了,还是比较自豪的。

对于经典测量平差的细节,我就不多说了,除了上面说的几点之外,还有几个概念后面会用到,大家也要十分清楚才行。

1、权、方差、协方差的概念:这个对于测量来说非常重要。大家应该都有过这种疑问,平差不是给出想要求解的结果就可以了嘛,为什么要各种精度评定,精度评定就评定吧,为什么要引入各种指标。不得不说,在经典测量平差中一些指标是没有得到充分应用的,但这些指标是测量平差基础的一部分,对于理解后续各种平差方法有非常重要的作用。

二、近代测量平差理论

如果说什么是近代测量平差的理论,现在还没有一个定论,但肯定不是以时间的先后来定义的。只能说其是一种与经典测量平差相对应的测量平差理论,其内涵与“高等测量平差”、“广义测量平差”、“现代测量平差”并没有特别严格的区分,大大扩展了经典测量平差的应用范围。

1、相关平差

在经典的测量平差中,处理的都是独立观测值,或者直接将非独立观测值直接忽略其之间的相关性进行平差。这样的做法明显是有局限性的。

举一下例子,对于一个甲板片,我们可以用两种方法来测量其尺寸为是否满足公差要求:

1、测量每一个点的坐标

2、测量第一条边的长度

之前这两种观测值是没有办法同时参与平差的,因为很明显两者是相关测量数据(两点坐标可以很容易的求出边长),这种情况下引入相关平差是非常有必要的。而且根据平差理论,两者都参与平差结果精度明显要高于只有一者参与计算。

当然,相关平差的意义不仅如此,主要有以下几方面的意义:

1、相关平差使测量平差的适应面更宽。实际中存在的相关观测值,过去只能按独立观测值来处理。

2、相关平差使观测值的概念广义化了。观测值的平差结果也可以作为观测值,进行最小二乘平差,它可以将庞大的平差划为若干部分或若干阶段来进行。还可以简化公式的推导。

3、相关平差是测量平差进入近代平差的标志。

2、参数加权平差(EIV模型)

在经典测量平差中我们将观测值看作是服从正态分布的随机向量,为了能够准确的描述观测值,我们引入了权、方差和协方差的概念。但在经典测量平差中认为未知参数是非随机量,参数在取得观测值前无任何有利用价值的信息,参数的估值完全依赖于观测值及平差的模型,当平差模型和观测值取值确定时,无论参数近似值怎样选择,平差的结果是唯一的。

参数加权平差就是将未知参数同观测值一样也随机量。参数的平差值不仅与观测值有关,而且还与参数的验前值及参数的验前方差有关。参数的估值准则必须随之变化。

参数加权平差下面细分还有很多其他的类别,给大家罗列一下,具体的技术细节就不是我能够搞清楚的了:

1、最小二乘配置

2、贝叶斯估计

3、卡尔曼滤波

3、秩亏自由网平差

秩亏自由网平差应该是除了经典平差大家听说最多的一种平差方法,主要原因有两点:

1、在工程测量中多数网都是秩亏自由网

2、秩亏自由网在GPS中得到了非常多的应用

秩是线性代数中的一个概念,在经典测量平差中,系数矩阵都是列满秩的矩阵,当起算条件不足时,就会出现系数矩阵不满秩的情况,这种情况进行的平差就叫做秩亏自由网平差。

秩亏自由网的平差比较简单,主要有两种方法:

1、广义逆法,即通过求法方程系数阵的某种广义逆,或求误差方程系数阵的伪逆求出特解。

2、从传统的平差方法出发,寻求秩亏网平差的解法,常见的有直接解法、附加条件法和转换解法。

4、具有奇异权阵的参数平差

5、随机模型的后验估计(方差分量估计、后验权估计)

在经典测量平差中,权阵为已知值,我们称这种权阵叫做先验权。先验权在近代测量平差中有很大的局限性,比方说一次平差中既有方向观测,又有距离观测,即有不同类型的观测值时,先验权就很难确定。针对此问题,提出了后验权的估计方法。

后验权是用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差,根据方差的估计值重新进行定权,以改善第一次平差时权的初始值,再依据重新确定的观测值的权再次进行平差,如此重复,直到不同类观测值的权趋于合理,这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特(F.R.Helmert)在1924年提出,所以又称为赫尔默特方差分量估计。

大家在使用Leica全站仪的时候不知道有没有注意到设站的方式有一个“赫尔默特后方交汇”,我觉得应该是使用了后验权估计的方法进行后方交汇。

随机模型的验后估计方法主要有三种:

1、赫尔墨特的最小二乘平差法

2、C.R.劳的MINQUE法,即最小范数二次无偏估计法。

3、库贝克的最大似然法

这些方法的具体细节我也不清楚,如果以后用到大家再细细分析吧。

6、抗差估计(稳健估计)

把抗差估计写到这里也是由于抗差估计中最常用的一种方法就是上面的第5种方法。我们思考一下使用后验权会有什么优势。

假如一批测量数据中有一个粗差,那么进行平差之后,此粗差的中误差一般会比较大,此时我们会使用后验权,很显然中误差大的权会比较小,那么这个粗差的影响就又变小了一步,粗差的中误差就会变的更大。。。如此循环,最终会将粗差的影响缩小到一个合理范围内,这种估计就是一种抗差估计。

上面的方法当然不是抗差估计的唯一方法,但却是一种非常容易实现且非常有效的方法。

对于抗差估计,还有一个理论大家要明白:那就是观测值并非是正态分布,一般大家会倾向于观测值服从一种污染正态分布(或者叫长尾分布)。

7、有偏估计

经典测量平差中的估计是无偏估计。因为大家都认可的一点是:如果对一个观测向量进行反复的观测,那么真值为所有观测的平均数,即:

有偏估计则:

最常见的有偏估计为:一范数最小估计。用于一维观测向量则是中位数。

用中位数作为估计的真值有一个非常优秀的特性:崩溃污染率特别高,为50%。这一点是其他所有估计都无法达到的高度,所以一范数最小估计常用于抗差估计中初始值的选择。在精度要求不高的估计中可以直接使用一范数最小估计作为最终真值,其抗差性能优良。

8、非线性估计

经典测量平差在使用过程中经常需要进行线性化,线性化一方面给模型增加了线性化的误差,另一方面需要用平差的初始值进行估计,所以在此基础上发展出了非线性估计。

非线性估计具体做法自己也没有研究过,只是听说过,如果有兴趣大家可以做再深入的讨论。

三、几个课件

测量平差(河海大学)

第八章--近代平差理论

第五章-抗差估计及应用

近代平差

近代平差理论概述

上面总结的内容主要来自于这几个课件,这些课件都是在网上下载的,如果有侵犯谁的所有权,请通知我,我立刻删除。

 

原创文章,文章首发于:Riley Ge (@rileyge) — Steemit

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